Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
← Понятие о неопределённом интеграле | Таблица интегралов | Основные свойства неопределённого интеграла →
таблицы производных :
∫
0
d
x
=
C
.
{\displaystyle \int 0\,dx=C.}
(3.1)
∫
a
d
x
=
a
x
+
C
.
{\displaystyle \int a\,dx=ax+C.}
(3.2)
∫
x
α
d
x
=
x
α
+
1
α
+
1
+
C
,
α
∈
R
,
α
≠
−
1.
{\displaystyle \int x^{\alpha }\,dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\quad \alpha \in \mathbb {R} ,\;\alpha \neq -1.}
(3.3)
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
,
x
≠
0.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C,\quad x\neq 0.}
(3.4)
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
,
a
>
0
,
a
≠
1.
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C,\quad a>0,\;a\neq 1.}
(3.5)
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
.
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}
(3.5')
∫
d
x
a
2
+
x
2
=
1
a
a
r
c
t
g
x
a
+
C
1
=
−
1
a
a
r
c
c
t
g
x
a
+
C
2
=
1
a
a
r
c
t
g
a
+
x
a
−
x
+
C
3
=
1
a
a
r
c
t
g
x
−
a
x
+
a
+
C
4
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C_{1}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C_{2}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {a+x}{a-x}}+C_{3}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-a}{x+a}}+C_{4}.}
[ 1] (3.6)
∫
d
x
1
+
x
2
=
a
r
c
t
g
x
+
C
1
=
−
a
r
c
c
t
g
x
+
C
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C_{1}=-\mathrm {arcctg} \,x+C_{2}.}
(3.6')
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
,
x
≠
±
a
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C,\quad x\neq \pm a.}
(3.7)
∫
d
x
x
2
−
1
=
1
2
ln
|
x
−
1
x
+
1
|
+
C
,
x
≠
±
1.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|+C,\quad x\neq \pm 1.}
(3.7')
∫
d
x
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
a
+
C
1
=
−
arccos
x
a
+
C
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{a}}+C_{1}=-\arccos {\frac {x}{a}}+C_{2}.}
[ 2] (3.8)
∫
d
x
1
−
x
2
=
arcsin
x
+
C
1
=
−
arccos
x
+
C
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}.}
(3.8')
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
ln
|
x
+
x
2
+
a
2
|
+
C
=
a
r
s
h
x
a
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C=\mathrm {arsh} \,{\frac {x}{a}}+C.}
(3.9)
∫
d
x
x
2
+
1
=
ln
|
x
+
x
2
+
1
|
+
C
=
a
r
s
h
x
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|+C=\mathrm {arsh} \,x+C.}
(3.9')
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
ln
|
x
+
x
2
−
a
2
|
+
C
=
a
r
c
h
x
a
+
C
,
x
⩾
a
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C=\mathrm {arch} \,{\frac {x}{a}}+C,\quad x\geqslant a.}
(3.10)
∫
d
x
x
2
−
1
=
ln
|
x
+
x
2
−
1
|
+
C
=
a
r
c
h
x
+
C
,
x
⩾
1.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C=\mathrm {arch} \,x+C,\quad x\geqslant 1.}
(3.10')
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
.
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C.}
(3.11)
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
.
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C.}
(3.12)
∫
d
x
cos
2
x
=
∫
sec
2
x
d
x
=
t
g
x
+
C
,
x
≠
π
n
2
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\int \sec ^{2}x\,dx=\mathrm {tg} \,x+C,\quad x\neq {\frac {\pi n}{2}},\;n\in \mathbb {Z} .}
(3.13)
∫
d
x
sin
2
x
=
∫
c
o
s
e
c
2
x
d
x
=
−
c
t
g
x
+
C
,
x
≠
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=\int \mathrm {cosec} ^{2}\,x\,dx=-\,\mathrm {ctg} \,x+C,\quad x\neq \pi n,\;n\in \mathbb {Z} .}
(3.14) Более полная таблица приведена в «Списке интегралов элементарных функций » или, например, в справочнике «Таблицы интегралов и другие математические функции » Г. Б. Двайта.
↑ Обратите внимание на то, что все константы
C
i
{\displaystyle \scriptstyle {C_{i}}}
различны .
↑ Обратите внимание на то, что константы
C
1
{\displaystyle \scriptstyle {C_{1}}}
C
2
{\displaystyle \scriptstyle {C_{2}}}
различны .
